一、公安机关自行决定指定监视居住合法吗？

公安机关自行决定指定监视居住是合法的，法律已经给了公安部门相应的权力却也需要遵守一些既定的规定才行。如新《刑事诉讼法》第73条规定：监视居住应当在犯罪嫌疑人、被告人的住处执行;无固定住处的，可以在指定的居所执行。对于涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、特别重大贿赂犯罪，在住处执行可能有碍侦查的，经上一级人民检察院或者公安机关批准，也可以在指定的居所执行。

适用“指定居所监视居住”措施的情形有两种：第一种情形是重大贿赂犯罪，衡量“重大”与否的标准有3个，贿赂数额50万元以上、或者有重大的社会影响、或者涉及国家重大利益;第二种情形是嫌疑人在当地无固定住所。

二、监视居住执行机关

1.由公安机关执行。

2.由国家安全机关执行：a.由国家安全机关决定取保候审的;b.检、法办理国家安全机关移送案件决定取保候审的。

三、监视居住的适用条件

根据新刑事诉讼法的相关规定，监视居住，是指人民检察院为了保证侦查、起诉工作的顺利进行，责令犯罪嫌疑人不得离开指定区域，并对其活动进行监视的一种强制措施。具体可以对以下情形的犯罪嫌疑人采取监视居住的强制措施。

依新刑事诉讼法第72条规定，人民法院、人民检察院和公安机关对于符合逮捕条件，有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以监视居住：

(一)患有严重疾病、生活不能自理的;

(二)怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女;

(三)系生活不能自理的人的唯一扶养人;

(四)因为案件的特殊情况或者办理案件的需要，采取监视居住措施更为适宜的;

(五)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取监视居住措施的。

对符合取保候审条件，但犯罪嫌疑人、被告人不能提出保证人，也不交纳保证金的，可以监视居住。

监视居住由公安机关执行。

是否采取监视居住的强制措施由公安机关、法院或检察院决定。

综上所述，公安机关在收到通知要对某些罪犯做出监视居住的处理时就需要先调查该罪犯的实际情况，通常罪犯原本的生活就比较困难而自然没有住所并且能够让公安机关开展后期的监督工作的，此时就可以由公安部门指定一个居住的地方让罪犯居住。