一、监狱关押罪犯脱逃会以什么罪来进行处罚？

罪犯从监狱脱逃的，监狱应当即时将其抓获，不能即时抓获的，应当立即通知公安机关，由公安机关负责追捕，监狱密切配合。对于脱逃罪犯抓获后处五年以下有期徒刑，并实行数罪并罚。

法律依据：

《监狱法》第四十二条　监狱发现在押罪犯脱逃，应当即时将其抓获，不能即时抓获的，应当立即通知公安机关，由公安机关负责追捕，监狱密切配合。

《刑法》第三百一十六条第一款依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人脱逃的，处五年以下有期徒刑或者拘役。

第七十一条　【判决宣告后又犯新罪的并罚】判决宣告以后，刑罚执行完毕以前，被判刑的犯罪分子又犯罪的，应当对新犯的罪作出判决，把前罪没有执行的刑罚和后罪所判处的刑罚，依照本法第六十九条的规定，决定执行的刑罚。

二、脱逃罪的客观要件有哪些内容？

本罪在客观方面表现为逃离羁押、改造场所。羁押场所主要是指看守所。改造场所主要指监狱、劳动改造管教队、少年犯管教所等。另外，押解犯罪分子的路途中，也应视为监管场所范围。譬如，被逮捕的罪犯在被押送至人民法院应诉受审的途中脱身逃跑的，被判刑的罪犯在被押解至劳改机关关押的途中，跳车、越船脱逃的均是脱逃行为。行为人的逃跑方法有使用暴力脱逃与未使用暴力脱逃两种，未使用暴力脱逃，是指行为人寻找机会，创造条件，乘司法工作人员不备而逃跑。使用暴力脱逃，是指行为人通过对司法工作人员施以殴打、捆绑等暴力行为，或者威胁、恐吓等胁迫行为，而摆脱其监管控制。从人数上看，有单个人逃跑的，也有数人共同逃跑的。无论采取什么形式脱逃，都不影响本罪的成立。脱逃的形式属于量刑情节。但是，如果脱逃中犯有重伤害或者故意杀人的，应按处理牵连犯的原则，从一重罪处罚。对于多数人集体脱逃的，应按共同犯罪论处。

综合上面所说的，罪犯脱逃就是属于在判决了之后或者是在判决中而实放的逃跑行为，这种行为只要被构成必定就会承担新的处罚，如果原来有罪的话，那么还要加重当事人的刑法，所以，在犯了罪之后就要懂得如何知错，这样才能减轻自己的行为。