父母能否放弃对孩子的监护权?

根据《民法通则》第十六条规定，未成年人的父母是未成年人的监护人。未成年人的父母己经死亡或者没有监护能力的，由下列人员中有监护能力的人担任监护人：(一)祖父母、外祖父母;(二)兄、姐;(三)关系密切的其他亲属、朋友愿意承担监护责任，经未成年人的父母所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会同意的。

因此，孩子的父母作为第一顺序的法定监护人，应当抚养孩子。如果父母不能承担起抚养义务，《民法通则》第十六条规定其他有监护能力的人可以再向法院提起变更监护人之诉。

父母离婚后子女判给一方，另一方有无监护权?

根据《婚姻法》的相关规定，离婚只能消除夫妻关系，不能消除父母子女的关系。离婚后，子女无论由父亲还是由母亲抚养，仍是父母双方的子女。

根据我国最高人民法院的司法解释规定，夫妻离婚后，与子女共同生活的一方无权取消对方对该子女的监护权，但是，未与该子女共同生活的一方，对该子女有犯罪行为、虐待行为或者对该子女明显不利的，人民法院认为可以取消的除外。

所以，父母离婚后，子女判给一方，只是确定抚养权的归属，另一方仍有监护权。